Nosotros decidimos

El problema no es que los votantes sean irracionales — cada uno tiene preferencias perfectamente coherentes. El problema es que cuando sumas sus votos siguiendo la lógica de la mayoría, puedes obtener un resultado que no tiene sentido: A gana a B, B gana a C, y C gana a A. Una democracia puede elegir de forma cíclica aunque ninguno de sus ciudadanos lo haga.

La paradoja de Condorcet, formulada por el matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet en 1785 y retomada por Kenneth Shepsle como uno de los pilares de la teoría de la elección social, demuestra que la regla de la mayoría tiene un defecto estructural. Imagina tres grupos de votantes con preferencias perfectamente transitivas: el primero prefiere A sobre B y B sobre C; el segundo prefiere B sobre C y C sobre A; el tercero prefiere C sobre A y A sobre B. Ahora hagamos votaciones por pares: A contra B — gana A (el primer y tercer grupo se alían). B contra C — gana B (el primer y segundo grupo). C contra A — gana C (el segundo y tercer grupo). Resultado: A vence a B, B vence a C, C vence a A. No hay ganador. No hay candidato que sea el “preferido de la mayoría” en ningún sentido estable. La democracia no puede tomar una decisión coherente porque la estructura de las preferencias agregadas, aunque no la de ningún individuo, es cíclica.

En el proceso para elegir candidato presidencial de la oposición en 2023, el Frente Amplio por México enfrentó una paradoja análoga. Una parte del electorado opositor prefería a Xóchitl Gálvez sobre Beatriz Paredes en materia de imagen ciudadana, pero prefería a Paredes en estructura de partido; otro segmento prefería a Santiago Creel sobre Xóchitl en experiencia legislativa pero a Xóchitl sobre Creel en perfil de cambio. Cuando se intentó agregar esas preferencias multidimensionales, el resultado no era claro y las negociaciones se volvieron enredadas. No porque los actores fueran irracionales, sino porque la regla de decisión colectiva —sea cual fuera— tiene sus propios límites estructurales cuando los temas son múltiples.

Configura las preferencias de tres grupos de votantes y observa cuándo la votación por pares produce un ganador claro y cuándo cae en el ciclo de Condorcet.

Lo que cambia después de ver este modelo es la actitud ante la indecisión institucional. Cuando un comité no puede acordar un candidato, cuando el Congreso no puede votar en favor de ninguna ley de las varias propuestas, cuando una organización lleva meses sin decidir entre tres estrategias —no siempre es culpa de los miembros. A veces la estructura de los votos produce ciclos independientemente de la voluntad de las partes. Condorcet nos enseña que la democracia tiene puntos ciegos geométricos, no solo políticos. Y que el diseño de las reglas de votación —quién propone, en qué orden se votan las opciones, quién controla la agenda— importa enormemente precisamente porque puede romper esos ciclos, o explotarlos.

Fuentes: Shepsle, Kenneth A. Analizar la política, cap. IV. | Condorcet, N. de (1785), Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix.

Hay una cura para la paradoja de Condorcet, pero tiene un precio. Si todos los votantes ordenan sus opciones a lo largo de una sola dimensión —digamos, una línea que va de izquierda a derecha— y cada quien tiene un punto favorito con preferencias que declinan simétricamente a ambos lados, entonces la votación por mayoría produce siempre un ganador estable. Ese ganador es el votante en la mitad exacta.

Duncan Black demostró en 1948 que si las preferencias son “de pico único” —cada votante tiene un ideal y prefiere las opciones más cercanas a ese ideal sobre las más lejanas— entonces la regla de la mayoría no produce ciclos. El ganador inevitable es el candidato o política más cercana al votante mediano: el que tiene exactamente a la mitad de los votantes a su izquierda y a la otra mitad a su derecha. Esto se conoce como el Teorema del Votante Mediano, popularizado por Anthony Downs. La intuición es poderosa: en una elección ideológica normal, los candidatos racionales deberían converger hacia el centro, porque alejarse del mediano significa perder. Ambos partidos se vuelven moderados, pragmáticos, y casi indistinguibles entre sí —lo que produce la queja clásica de que “todos los partidos son iguales”.

La famosa convergencia del PRI y el PAN hacia el centro durante los años noventa y dos mil es el caso mexicano por excelencia de este modelo en acción. Ambos partidos moderaron sus posiciones extremas —el PRI abandonó el corporativismo de Estado, el PAN suavizó el clericalismo— para competir por el voto del ciudadano de clase media urbana que era, precisamente, el votante mediano de aquella época. La irrupción de López Obrador y Morena en 2018 es consistente con el modelo, pero desde el otro ángulo: cuando el espacio ideológico deja de ser unidimensional —cuando la corrupción, la soberanía, la identidad nacional entran como ejes adicionales— el teorema deja de aplicarse y el votante mediano ya no existe de la misma manera.

Mueve los votantes a lo largo del espectro y observa cómo el votante mediano cambia, qué candidato gana en cada configuración y qué pasa cuando las preferencias dejan de ser de pico único.

El Teorema del Votante Mediano es probablemente el resultado más citado de toda la ciencia política formal, y con razón: explica por qué los sistemas bipartidistas tienden a la moderación, por qué los candidatos se mueven al centro en campaña y por qué las reformas radicales son tan difíciles de aprobar. Pero su condición de validez —que la competencia ocurra en una sola dimensión— es raramente cierta. En cuanto aparece una segunda dimensión relevante (corrupción, identidad, regionalismo), el teorema se rompe y volvemos al caos de Condorcet. La política real vive en esa tensión: los actores intentan simplificar la competencia a una dimensión para ganar estabilidad, y sus rivales los confrontan con nuevos ejes para romperla.

Fuentes: Black, Duncan (1948), “On the Rationale of Group Decision-making”, Journal of Political Economy. | Downs, Anthony. An Economic Theory of Democracy. 1957. | Shepsle, Kenneth A. Analizar la política, cap. V.

Tres candidatos. Cien votantes. Todos entregan el mismo conjunto de preferencias ordenadas. Un método de conteo produce ganador A; otro produce ganador B; otro produce ganador C. La regla de votación no es neutral: es una decisión política disfrazada de procedimiento técnico.

Existen docenas de métodos para agregar preferencias individuales en una decisión colectiva, y los más importantes difieren fundamentalmente en lo que “cuentan”. La pluralidad simple —o “primera vuelta gana”— solo mira quién recibe más votos en primera posición, ignorando todas las otras preferencias. El método Borda asigna puntos ponderados: primer lugar vale más que segundo, que vale más que tercero, y suma los puntos de cada candidato. El método Condorcet, más exigente, declara ganador solo al candidato que vence a cada uno de los demás en votaciones uno a uno; si no existe tal candidato, no hay ganador. La doble vuelta —usada en Francia y México para la presidencia— elimina a todos menos a los dos primeros y celebra una segunda ronda. Cada método tiene una lógica normativa: ¿qué es “el más popular”? ¿El más ampliamente aceptado? ¿El menos rechazado? La respuesta importa.

En 1988, Cuauhtémoc Cárdenas habría ganado casi con certeza con un sistema de doble vuelta, pues la segunda preferencia de los votantes del PAN era mayoritariamente cardenista. Con pluralidad simple —el sistema entonces y hoy vigente— el PRI declaró ganador a Salinas. No se trata solamente de fraude: el punto es que el mismo conjunto de preferencias produce ganadores distintos dependiendo del método. En las elecciones internas de Morena en 2024 para candidaturas locales, la discusión sobre cómo contar votos —encuesta, militancia, votación abierta— no era una disputa técnica: era una disputa sobre qué regla favorecía a qué facción. El método importa.

Introduce los porcentajes de votantes con cada perfil de preferencia y compara quién gana con pluralidad simple, el método Borda y el método Condorcet.

Este modelo enseña que no existe “la voluntad del pueblo” como dato objetivo que esperamos descubrir con el método correcto. La voluntad colectiva es, en parte, una construcción de las reglas que usamos para agregar preferencias individuales. Diferentes reglas, mismos votos, ganador distinto. Esto no significa que todas las reglas sean iguales o que la democracia sea arbitraria. Significa que la elección de una regla electoral es ella misma un acto político que distribuye poder, y que quienes diseñan las reglas —las asambleas constituyentes, los institutos electorales, los partidos negociando en privado— tienen más poder de lo que parece. El método no es el árbitro neutral del juego: es uno de los jugadores.

Fuentes: Shepsle, Kenneth A. Analizar la política, cap. IV. | Borda, J.C. de (1784), “Mémoire sur les élections au scrutin”, Histoire de l'Académie Royale des Sciences.

Kenneth Arrow se propuso algo aparentemente modesto: encontrar cualquier método de votación —no necesariamente el mejor, solo uno— que cumpliera con cuatro condiciones de sentido común. En 1951, con 30 años, demostró que ese método no puede existir. Ninguno. Jamás. Por ninguna matemática que se intente.

El Teorema de la Imposibilidad de Arrow (1951, Premio Nobel de Economía 1972) establece que no existe ningún procedimiento de agregación de preferencias que satisfaga simultáneamente cuatro condiciones que parecen razonables. La primera es la no-dictadura: ninguna persona puede imponer siempre su preferencia como resultado colectivo. La segunda es el principio de Pareto o unanimidad débil: si todos prefieren A sobre B, el resultado colectivo también debe preferir A sobre B. La tercera es la independencia de alternativas irrelevantes: el ranking colectivo entre A y B no debe cambiar si cambia la opinión de alguien sobre C. La cuarta es el dominio universal: la regla debe funcionar para cualquier combinación posible de preferencias individuales. Arrow demostró matemáticamente que estos cuatro requisitos son incompatibles. Cualquier regla que cumpla las tres primeras condiciones viola la cuarta, y viceversa. Cualquier regla que cumpla las últimas tres condiciones resulta ser, en ciertos escenarios, una dictadura.

Cuando el INE o el Tribunal Electoral diseñan reglas para resolver disputas sobre candidaturas, asignación de curules por representación proporcional o validez de votos, siempre enfrentan implícitamente el problema de Arrow. La fórmula que se usa para convertir votos en escaños en el Congreso mexicano —que combina pluralidad uninominal con representación proporcional— es un compromiso entre criterios incompatibles. El sistema termina violando la independencia de alternativas irrelevantes (pequeños cambios en el total de votos de un tercer partido pueden cambiar cuántos escaños obtienen los dos grandes) precisamente porque no hay forma de evitarlo: Arrow ya demostró que no existe la fórmula perfecta. Cada reforma electoral en México que promete “equidad” e “imparcialidad” está prometiendo algo que la matemática dice que es imposible en su forma más pura.

Experimenta con diferentes reglas de votación e intenta construir una que cumpla todos los axiomas de Arrow. El simulador muestra en qué escenario falla cada regla.

El teorema de Arrow no es un argumento contra la democracia. Es un argumento contra la inocencia sobre la democracia. Nos dice que ningún sistema electoral es perfecto, que toda regla de votación implica compromisos y concesiones, y que las promesas de “representación perfecta” o “voluntad pura del pueblo” son matemáticamente vacías. Lo que sí podemos hacer es elegir conscientemente qué propiedades queremos maximizar y qué compromisos estamos dispuestos a aceptar. Esa elección no es técnica: es filosófica y política. Arrow no cierra el debate sobre cómo diseñar la democracia — lo abre con más rigor del que tenía antes de él.

Fuentes: Arrow, Kenneth J. Social Choice and Individual Values. Nueva York: Wiley, 1951. | Shepsle, Kenneth A. Analizar la política, cap. IV.